Задаци
област: валуте, девизе
математика: пресликавање, инјективно пресликавање,комбинаторика
Кодови земаља су кратки абецедни или нумерички географски кодови (геокодови) развијени да представљају земље, за употребу у обради података и комуникацији. Користећи правило „Ознака валуте се састоји из три слова где прва два слова означавају име земље (код земље) док последње слово означава име валуте.“ попуни ознаке у табели. Као помоћ користи скраћенице земаља доступне на страници.
| Земља | валута | ознака валуте |
|---|---|---|
| Србија (Serbia) | Српски динар (Serbian Dinar) | |
| Норвешка (Norway) | Норвешка круна (Norwegian Krone) | |
| Кина (China) | Јуан (Yuan) | |
| Египат (Egypt) | Египатска фунта (Egyptian Pound) |
Како би задатак био успешно решен потребно је наћи званичне међународне скраћенице за земље. Прављење скраћеница јесте и један комбинаторни проблем. Укупан број могућих скраћеница од два слова енглеског алфабета је \(26 \cdot 26= 676\). Ако би се као скраћеница узимала прва два слова имена земље појавио би се проблем јер би се више различитих земаља имало исту скраћеницу. Зато је важно да користимо податке о скраћеницама.
Проналажењем међународних скраћеница добијамо
Serbia → RS
Norway → NO
China → CN
Egypt → EG
и додавањем првог слова валуте добијамо
Serbia → „RS“+“D“=RSD
Norway → „NO“+“K“=NOK
China → „CN“+“Y“=CNY
Egypt → „EG“+“D“=EGD
област: валуте, девизе
математика: реални бројеви, проценат
Ако је средњи курс евра Народне банке Србије 117,3279, тада продајни курс евра у мењачници мора бити
-
мањи или једнак од 118,7945
-
већи од 115,8613
-
мањи од 118,2145
-
већи или једнак од 116,2341
Користећи одредбу Одлука о условима и начину рада девизног тржишта: „У курсној листи овлашћеног мењача и јавног поштанског оператора куповни курс по јединици стране валуте - евра не може да буде нижи од званичног средњег курса динара према евру који важи на тај дан за више од 1,25%, односно продајни курс по јединици стране валуте – евра не може да буде виши од званичног средњег курса динара према евру који важи на тај дан за више од 1,25%.“
Применом основног процентног рачуна одређујемо максималну вредност продајног курса
\(117,3279\cdot(1+0,0125)= 118,7945\)
Ако је средњи курс евра Народне банке Србије 117,3279 тада куповни курс евра у мењачници мора бити
-
мањи или једнак од 118,7945
-
већи од 115,8613
-
мањи од 118,214
-
већи или једнак од 116,2341
Користећи одредбу Одлука о условима и начину рада девизног тржишта:
„У курсној листи овлашћеног мењача и јавног поштанског оператора куповни курс по јединици стране валуте – евра не може да буде нижи од званичног средњег курса динара према евру који важи на тај дан за више од 1,25%, односно продајни курс по јединици стране валуте – евра не може да буде виши од званичног средњег курса динара према евру који важи на тај дан за више од 1,25%.“
Применом основног процентног рачуна добија се да је куповни курс не може бити мањи од
\(117,3279\cdot(1-0,0125)= 115,8613\)
област: валуте, девизе
математика: реални бројеви, проценат
Ако је средњи курс евра Народне банке Србије 117,3279 тада је максимални распон између куповног и продајног курса у мењачници
-
2,63
-
2,73
-
2,83
-
2,93
Користећи одредбу Одлука о условима и начину рада девизног тржишта:
„У курсној листи овлашћеног мењача и јавног поштанског оператора куповни курс по јединици стране валуте - евра не може да буде нижи од званичног средњег курса динара према евру који важи на тај дан за више од 1,25%, односно продајни курс по јединици стране валуте - евра не може да буде виши од званичног средњег курса динара према евру који важи на тај дан за више од 1,25%.“
Применом основног процентног рачуна добијамо максимални распон
\(117,3279\cdot(1+0,0125)- 117,3279\cdot(1-0,0125)=\)
\(=117,3279\cdot0,025=2.9331975\approx2.93\)
За задатке 5-9 потребно је да користиш податке са слике 1 и слике 2.
Слика 1
Слика 2
област: валуте, девизе
математика: реални бројеви, приближне вредности
Како би доносио правилне финансијске одлуке потребно је да анализираш различите податке. У наставку овог задатка потребно је да анализираш курсне листе које су дате на сликама 1 и 2 и одговориш на следећа питања
У мењачници БС средњи курс је дат са две децималне вредности, док је у мењачници НС дат са четири децималне тачке. Посматрај следеће валуте: евро, амерички долар и канадски долар. Које правило је применила БС мењачница приликом превођења средњег курса на запис са две децималне вредности за посматране три валуте?
-
правило заокуживања на најближу вредност
-
правило заокруживања на већу вредност
-
правило заокруживања на мању вредност
-
правило одсецања
У датим курсним листама неслагање постоји код мађарске форинте. Погледај вредности мађарске форинте у мењачници НС и БС, а затим пронађи разлог за ову врсту неслагања.
У мењачници НС дата је вредност једне мађарске форинте, а на курсу мењачнице БС дата је вредност за 100 мађарских форинти.
Две мењачнице немају исту понуду валута, а за валуте које су у понуди у обе мењачнице разликују се курсеви.
Наведи које валуте је повољније да продаш, а које да купиш у мењачници НС.
Ако продајеш валуте онда је потребно да посматраш куповни курс мењачнице (подсећање, зове се куповни јер мењачница купује када ти продајеш).
Поредимо вредности у колони „куповни“ и одређујемо у којој мењачници је већа вредност. Једина валута која је у понуди у обе мењачнице, а има виши куповни курс у мењачници НС је норвешка круна. Кинески јуан је доступан само у тој мењачници па је и тај курс повољнији. Значи само за ове две валуте је повољнија мењачница НС.
Аналогно, за одређивање мењачнице у којој је повољније да купиш девизе посматрамо колоне „продајни“. Повољнија је она мењачница у којој је мањи продајни курс. У мењачници НС повољнија је куповина евра, мађарске форинте и шведске круне.
област: валуте, девизе
математика: реални бројеви, приближне вредности
Ако желиш да претвориш 30 евра у динаре, колико динара би добио у мењачници НС, а колико у мењачници БС?
-
у мењачници НС \(3.537,00\) RSD, а у мењачници БС \(3.549,00\) RSD;
-
у мењачници НС \(3.510,00\) RSD, а у мењачници БС \(3.540,00\) RSD;
-
у мењачници НС \(3.510,00\) RSD, а у мењачници БС \(3.490,00\) RSD;
-
у мењачници НС \(3.480,00\) RSD, а у мењачници БС \(3.510,00\) RSD.
У мењачници НС куповни курс је \(116,00\) па би за \(30\) евра добио
\(116,00\cdot30\) EUR\(=3.480,00\) RSD.
У мењачници БС куповни курс је \(117,00\) па би за 30 евра добио
\(117,00\cdot30\) EUR\(=3.510,00\) RSD
област: валуте, девизе
математика: реални бројеви, приближне вредности, бројевни изрази
Неда жели да конвертује \(5.000\) динара у америчке доларе. Напомена: мењачнице не користе кованице у страним валутама и најмањи апоен у доларима којим располажу је 1 долар. Означи све тачне исказе.
-
У мењачници БС ће Неда добити један долар више него у мењачници НС.
-
У обе мењачнице ће добити исти износ долара.
-
У мењачници НС након куповине долара Неди ће остати и 45 динара.
-
У мењачници БС након куповине долара Неди ће остати 94 динара.
У мењачници НС продајни курс долара је \(111,95\) па је за \(5.000,00\) динара могуће купити \(5.000,00:111,95=44,66\) долара. Како је најмањи апоен \(1\) долар, Неда би добила \(44\) долара и остало би јој \(5.000,00-44\cdot111,95= 74,20\) динара.
У мењачници БС продајни курс долара је \(111,95\) па је за \(5.000,00\) динара могуће купити \(5.000,00:111,50=44,84\) долара. Како је најмањи апоен \(1\) долар, Неда би добила \(44\) долара и остало би јој \(5.000,00-44\cdot111,50= 94\) динара.
Други запис решења: \(x\)- износ купљених USA, \(y\)- преостали износ динара
Мењачница НС:
\(x=\left\lfloor \frac{5.000,00}{111,95}\right \rfloor=44\)
\(y=5.000,00-\left\lfloor \frac{5.000,00}{111,95}\right \rfloor\cdot x=74,20\)
Мењачница БС:
\(x=\left\lfloor \frac{5.000,00}{111,50}\right \rfloor=44\)
\(y=5.000,00-\left\lfloor \frac{5.000,00}{111,50}\right \rfloor\cdot x=94,00\)
област: валуте, девизе
математика: функције, једначине
Поред курса постоји и други услови који могу да се наметну. Један од њих је расположивост апоена поједине валуте. У мењачници НС најмањи апоен америчког долара је новчаница од 5 долара, а у мењачници БС новчаница од 1 долара. Графички прикажи зависност купљених долара у зависности од износа динара за коју желиш да купиш доларе између 1000 и 1600 динара. Одреди за који износ динара ћеш бити у могућности да купиш исту количину долара у обе мењачнице.
Одреди периоде када је динар први пут јачао у односу на евро.
Нека је \(x\) износ динара који имаш на располагању.
Како у мењачници БС располажу апоенима од 1 долара, износ који можеш да купиш је описан следећом функцијом:
\(f(x)=\left\lfloor \frac{x}{111,50} \right \rfloor\)
а њен графички приказ је дат на графику
График 1.1
У мењачници НС најмањи апоен је \(5\) долара па је износ долара који можеш да купиш описан следећoм функцијом
\(g(x)=\left\lfloor \frac{x}{111,95} \right \rfloor-mod\left( \left\lfloor \frac{x}{111,95} \right \rfloor,5 \right)\)
а њен графички приказ је дат на графику
График 1.2
За одређивање износа за који можемо да купимо исти износ америчких долара потребно је решити једначину над скупом \(x\in[1000,1600]\).
\(\left\lfloor \frac{x}{111,50} \right \rfloor=\left\lfloor \frac{x}{111,95} \right \rfloor-mod\left( \left\lfloor \frac{x}{111,95} \right \rfloor,5 \right)\)
На први поглед делује да је то баш тежак задатак, али зато можемо да се помогнемо графичким приказом функција \(f\) и \(g\), па да одредимо где се та два графика секу, односно преклапају:
График 1.3
Сада добијамо да за износ динара између \(1.119,5\) и \(1.226,5\) у обе мењачнице може да се купи \(10\) долара.
Напомена: Ово је само један од начина како можеш да решиш овај проблемски задатак, али сваки задатак може да се уради на више различитих начина.
област: валуте, девизе
математика: реални бројеви
Ана и Петар обратили су ти се за помоћ. Ана жели да купи 50 евра, а Петар жели да прода 30 швајцарских франака. Какав савет би им дао/ла?
-
Ани би препоручио мењачницу НС, а Петру мењачницу БС.
-
И Ани и Петру би препоручио мењачницу НС.
-
И Ани и Петру би препоручио мењачницу БС.
-
Ана би препоручио мењачницу БС, а Петру мењачницу НС.
Како је у мењачници НС нижи, односно мањи продајни курс, то је она повољнија. Заиста, Ани ће у мењачници НС за куповину \(50\) евра требати \(50\cdot117,90=5.895,00\) док би јој у мењачници БС требало \(50\cdot118,00=5.900,00\), па јој је повољнија мењачница НС.
Продајни курс за швајцарски франак је нижи у БС мењачници па је у њој повоњије куповати ту валуту. Заиста, Петар би за \(30\) швајцарских франака у мењачници НС добио \(30\cdot115,70=3.471,00\) динара, док би у мењачници БС добио \(30\cdot117.50=3.525,00\) динара па му је повољнија мењачница БС.
област: валуте, девизе
математика: реални бројеви, функције
Потребно је да купиш \(50\) евра, \(30\) швајцарских франака и \(2.500\) мађарских форинти. Ако куповину мораш да обавиш у једној од мењачници и ако желиш да минимизираш потрошене динаре, коју мењачницу би одабрао/ла?
Напомена: Обрати пажњу на курс за мађарску форинту.
-
мењачницу НС
-
мењачницу БГ
-
свеједно
-
на основу података не може се одредити
Поређењем продајних курсева за ове три валуте добијамо да је мењачница НС повољнија за куповину евра и мађарских форинти, док је у мењачници БС повољнији курс за швајцарски франак. То значи да не можемо само упоређивањем курсева установити која мењачница је повољнија за трансакцију коју желимо да изведемо.
Ако са \(x\) означимо продајни курс за евро, сa \(y\) продајни курс за швајцарске франке, a сa \(z\) продајни курс за мађарске форинте добијамо да количину потребних динара за тражену куповину можемо описати функцијом,
\(f(x,y,z)=50\cdot x+30\cdot y+2500\cdot z\)
У мењачници НС потребан износ за планирану трансакцију износи
\(f(117,90;120,55;0,3070)=50\cdot117,9+30\cdot120,55+2.500\cdot0.3070=10.279,00\)
У мењачници БС потребан износ за исту трансакцију износи
\(f\left(118,00;120,00;\frac{31,40}{100}\right)=10.285,00\)
Значи за планирану трaнсакцију је боље изабрати мењачницу НС.
област: валуте, девизе
математика: реални бројеви, бројевни изрази, комбинаторика
Потребно је да купиш \(150\) британских фунти, а код себе имаш \(7\) новчаница од \(20\) долара, \(5\) новачаница од \(10\) долара и \(4\) новчаница од \(5\) долара. Једини начин да купиш фунте је да продаш доларе за динаре, па да за динаре купиш фунте. Желиш да на ти приликом ових трансакција остане што мање динара, односно да продаш најмањи могући износ долара. Мењачнице не могу да ти раситњавају доларе. Ако си трансакције обавио у мењачници БС колико фунти, долара и динара поседујеш након трансакција?
-
20 долара 1200 динара 150 фунти
-
15 долара 420 динара 150 фунти
-
25 долара 820 динара 145 фунти
-
20 долара 420 динара 150 фунти
- потребно динара за куповину \(150\) фунти: \(150\cdot134=20.100,00\)
- одређујемо колико долара је потребно да продамо како бисмо добили износ \(20.100,00\): \(20.100:108=186,11\)
- Од новчаница (апоена) долара којима располажеш треба да направиш комбинацију која ће бити већа, али најближа износу \(186,11\). Тражена комбинација је \(7\) новчаница од \(20\) долара и \(5\) новчаница од \(10\) долара, што износи \(190\) долара. Ово није и једина комбинација за добијање износа од \(190\) евра.
- Продајом \(190\) долара ћеш добити \(190\cdot108=20.520,00\) динара.
На крају свих трансакција остаће ти \(20\) долара, \(420\) динара и \(150\) фунти
област: валуте, девизе, званична статистика
математика: функције - особине
На графику 2 дат је званични средњи курс динара који одређује народна банка за двадесетогодишњи период, од 2002. до 2022. Кажемо да динар слаби ако се повећава курс, тј. ако расте број динара потребних за куповину једног евра. кажемо да динар јача ако се смањује курс, тј. ако се смањује број динара потребних за куповину једног евра.
Анализирај график и одговори на следећа питања.
График 2
Које године је динар био најслабији у односу на евро?
-
2002.
-
2008.
-
2016.
-
2022.
Очитавамо максимум функције, тј. очитавамо годину када је достигнут максимум.
Одреди периоде када је динар први пут јачао у односу на евро.
-
2003.
-
2007.
-
2013.
-
2022.
Очитавамо када је функција први пут почела да опада.
Прираштај вредности евра у динарима између 2008. и 2012. године износио је:
-
\(31,6872\)
-
\(-31,6872\)
-
\(11,1867\)
-
\(-11,1867\)
Са графика очитавамо вредност курса 2008. и 2012. Добијена разлика вредности је тражени прираштај, односно ако са \(f(x)\) означимо вредност евра у тренутку x тада је прираштај одређен са
\(\Delta f=f(2012)-f(2008)=113,1277-81,4405=31,6872\)
Значи у периоду од 2008. до 2012. динар је ослабио у односу на евро.
Прираштај вредности евра у динарима између 2016. и 2022. године износио је:
-
\(11,1867\)
-
\(-11,1867\)
-
\(5,6591\)
-
\(-5.6591\)
\(\Delta f=f(2022)-f(2016)=117,4588-123,1179=-5,6591\)
Значи у периоду од 2008. до 2012. динар је ојачао у односу на евро.
Одреди између које две узастопне године је прираштај био највећи, а између које две најмањи.
-
Највећи је био између 2011. и 2012, а најмањи између 2017. и 2018.
-
Највећи је био између 2011. и 2012, а најмањи између 2006. и 2007.
-
Највећи је био између 2008. и 2009, а најмањи између 2006. и 2007.
-
Највећи је био између 2008. и 2009, а најмањи између 2017. и 2018.
У наредној табели дати су годишњи прираштаји који представљају разлику између вредности курса у текућој години и години која јој претходи. Одређивањем максималне и минималне вредност у колони прираштај и очитавањем година добијамо тражене податке.
област: валуте, девизе, званична статистика
математика: функције - особине
Анализирајући график 3 одреди истинитост следећих исказа.
График 3: Курс динара у односу на евро и долар у периоду 2002–2022.
| Исказ | ДА/НЕ |
|---|---|
| На почетку периода (2002–2004) динар је јачао у односу на долар, а слабио у односу на евро. | |
| На почетку периода (2002–2004) динар је слабио у односу на долар, а јачао у односу на евро. | |
| Динар је био најјачи у односу на долар 2008. | |
| Динар је био најјачи у односу на евро 2016. | |
| Разлика између курса евра и курса долара је била највећа 2008. |
| Исказ | ДА/НЕ |
|---|---|
| На почетку периода (2002-2004) динар је јачао у односу на долар, а слабио у односу на евро. | НЕ |
| На почетку периода (2002-2004) динар је слабио у односу на долар, а јачао у односу на евро. | ДА |
| Динар је био најјачи у односу на долар 2008. | ДА |
| Динар је био најјачи у односу на евро 2016. | НЕ |
| Разлика између курса евра и курса долара је била највећа 2008. | НЕ |
област: валуте, девизе, штедња
математика: реални бројеви, обрада података
Петар је 2008. купио америчке доларе за \(20.000\) динара, а Никола је исте године и за исти динарски износ купио евре. Обојица су тај износ ставили на штедњу са 2% годишњом каматом. 2022. године обојица су подигли штедњу и претворили у динаре. Одреди износе динара који обојица поседују након ове три финансијске трансакције. Износе које добијаш приликом сваке трансакције заокружи на најближи мањи цео број. Који од датих исказа је тачан на крају свих трансакција?
Напомена: Продаја и куповина валута је обавњена по средњем курсу. За израчунавање користи податке из табеле .
-
Петар има \(14,468\) динара више од Николе.
-
Никола има \(4,468\) динара више од Петра.
-
Петар завршно стање је \(42,234\) динара.
-
Николино завршно стање \(39,234\) динара.
област: девизне резерве, званична статистика
математика: функције – особине, искази
На графику 4 дат је приказ девизних резерви у периоду од 18 година. Напиши три исказа (реченице) које описују стање девизних резерви. Покушај да у свакој реченици употребиш само чињенице, а стил писања прилагоди новинарском.
График 4: Девизне резерве Републике Србије у периоду 2005–2022.
Ево неколико могућих исказа:
-
У првом периоду, тј. од 2005. до 2007. уочава се нагли раст девизних резерви које су удвостручене у те три године.
-
Благи пад девизних резерви уочава се 2008. године што је вероватно последица глобалне економске кризе.
-
У десетогодишњем периоду од 2009. до 2018. стање девизних резерви се није знатно мењало и цео тај период су биле мало изнад 10 милијарди евра.
-
У последњих пет до шест годинa, тј. у периоду од 2017. до 2022. уочава се нагли раст девизних резерви, које су у том периоду удвостручене и на крају 2022. су достигле скоро 20 милијарди долара.
област: валуте, девизе, званична статистика
математика: функције – особине, прираштај
У табели је дата вредност девизних резерви Републике Србије у периоду 2005-2022.
| Година | 2005. | 2006. | 2007 | 2008. | 2009. | 2010. | 2011. | 2012. | 2013. | 2014. | 2015. | 2016. | 2017. | 2018. | 2019. | 2020. | 2021. | 2022. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Девизне резерве НБС (у млн. евра) | 4,922 | 9,020 | 9,634 | 8,162 | 10,602 | 10,002 | 12,058 | 10,915 | 11,189 | 9,907 | 10,378 | 10,205 | 9,962 | 11,262 | 13,378 | 13,492 | 16,455 | 19,416 |
а) Које године у посматраном периоду су резерве биле најниже?
б) Које године је забележен највећи негативни прираштај?
в) Које године је забележен највећи позитиван прираштај?
а) 2005. године и износиле су 4 милијарде и 922 милиона евра.
б) Највећи прираштај остварен је 2006. године када су девизне резерве у односу на 2005. годину порасле за 4 милијарде и 98 милиона.
в) Највећи негативни прираштај остварен је 2008. године када су девизне резерве у односу на претходну годину смањене за милајрду и 472 милиона евра.
област: валуте, девизе, званична статистика
математика: функције - особине
На графику 5 дати су подаци о девизним резервама и курсу динара према евру за период између 2005-2021. Напиши два исказа који најбоље осликавају међусобни однос кретања курса и девизних резерви.
График 5: Курс динара у односу на евро и девизне резерве у периоду 2005-2021.
Mогући одговори:
-
Курс евра карактерише релативно мала промена у периоду од 2013. до 2021, док су робне резерве у том периоду имале веома јак раст.
-
У почетним годинама посматраног периода девизне резерве су осциловале, док је курс евра имао сталан раст. Прве године девизне резерве су нагло порасле, док је курс евра пао.