Задаци за самосталан рад

Задатак 6.1.

Маја је уложила 100.000 динара са каматном стопом од 5,25% која ће бити обрачунавана месечно. Аца је уложио 200.000 динара са истом каматном стопом и истим начином обрачунавања камате. Пореди времена удвостручавања уложених сума Маје и Аце, па означи тачан исказ.

• Време удвостручења Мајиног улога је дуже од времена удвостручавања Ациног улога.
• Време удвостручења Мајиног улога је краће од времена удвостручавања Ациног улога.
• Време удвостручења Мајиног улога је дупло дуже од времена удвостручавања Ациног улога.
• Време удвостручавања улога је исто за Мају и Ацу.

Мајино време удвостручавања, у годинама, при месечном обрачунавању камате по стопи од 5,25%, јесте решење једначине

\(200.000=100.000\cdot \left(1+\frac{0,0525}{12}\right)^{12t}.\)

Дакле,

\(t=\frac{\log 2}{12\log 1,004375}\approx 13,2.\)

Ацино време удвостручавања, у годинама, при месечном обрачунавању камате по стопи од 5,25%, јесте решење једначине

\(400.000=200.000\cdot \left(1+\frac{0,0525}{12}\right)^{12t}.\)

Дакле,

\(t=\frac{\log 2}{12\log 1,004375}\approx 13,2.\)

Видимо да је време удвостручавања улога за Мају и Ацу исто, јер оно не зависи од висине улога, већ само од каматне стопе и начина обрачунавања камате.

 

Задатак 6.2.

Нада је уложила новац са каматном стопом од 7,1% која ће бити обрачунавана полугодишње, а Сара је уложила са каматном стопом од 7,1% која ће бити обрачунавана годишње. Пореди времена удвостручавања уложених сума Наде и Саре, па означи тачан исказ.

• Време удвостручења Надиног улога је краће за више од годину дана.
• Време удвостручења Надиног улога је краће за више од два месеца дана.
• Време удвостручења Сариног улога је краће за више од годину дана.
• Време удвостручења Сариног улога је краће за више од два месеца дана.

Нада при полугодишњем обрачунавању добити, по стопи од 7,1%, време удвостручавања, у годинама, јесте решење једначине

\(2=\left(1+\frac{0,071}{2}\right)^{2t}.\)

Дакле,

\(t=\frac{\log 2}{2\log 1,0355}\approx 9,9.\)

Сара при годишњем обрачунавању добити (што је дупло дужи период обрачунавања камате у односу на Наду), по стопи од 7,1%, време удвостручавања, у годинама, јесте решење једначине

\(2=\left(1+0,071\right)^{t}.\)

Дакле,

\(t=\frac{\log 2}{\log 1,071}\approx 10,1.\)

Видимо да је време удвостручавања улога за Наду краће за приближно 0,2 године, тј. за приближно 73 дана.

 

Задатак 6.3.

Јанко је уложио новац са каматном стопом од 6,2% која ће бити обрачунавана годишње, а Марко је уложио новац са каматном стопом од 3,1% која ће исто бити обрачунавана годишње. Пореди времена удвостручавања уложених сума Марка и Јанка, па означи тачан исказ.

• За Јанка време удвостручења улога је дуже од половине времена удвостручавања за Марка.
• За Јанка време удвостручења улога је краће од половине времена удвостручавања за Марка.
• За Марка време удвостручења улога је краће од половине времена удвостручавања за Јанка.
• За Јанка време удвостручења улога је краће за 10 година од времена удвостручавања за Марка.

За Јанка, при годишњем обрачунавању добити, по стопи од 6,2%, време удвостручавања, у годинама, јесте решење једначине

\(2=\left(1+0,062\right)^{t}.\)

Дакле, \(t=\frac{\log 2}{\log 1,062}\approx 11,5.\)

За Марка при годишњем обрачунавању добити, по стопи од 3,1% (што је дупло мања каматна стопа у односу на Јанка), време удвостручавања, у годинама, јесте решење једначине

\(2=\left(1+0,031\right)^{t}.\)

Дакле, \(t=\frac{\log 2}{\log 1,031}\approx 22,7.\)

Видимо да је време удвостручавања улога за Јанка краће за приближно 11,2 године, дакле разлика је краћа од половине времена које је потребно Марку.

 

Задатак 6.4.1.

Ако се новац уложи са каматном стопом од 5,1% и месечним обрачуном камате, после ког времена ће стање на рачуну бити увећано за 25% почетног улога?

• После приближно 3,6 година.
• После приближно 4 године.
• После приблишно 4,4 године.
• После приближно 4,8 година.

Тражено време јесте решење једначине

\(1,25=\left(1+\frac{0,051}{12}\right)^{12t}.\)

Дакле,

\(t=\frac{\log 1,25}{12\log 1,00425}\approx 4,4.\)

 

Задатак 6.4.2.

Ако се новац уложи са каматном стопом од 5,1% и месечним обрачуном камате, после ког времена ће стање на рачуну бити увећано за 50% почетног улога?

• После приближно 7,2 година.
• После приближно 8 године.
• После приблишно 8,8 године.
• После приближно 9,6 година.

Тражено време јесте решење једначине \(1,5=\left(1+\frac{0,051}{12}\right)^{12t}.\) Дакле,

\(t=\frac{\log 1,5}{2\log 1,00425}\approx 8.\)

 

Задатак 6.4.3.

На основу задатака 4.1 и 4.2 упореди времена да се уложена сума увећа за 25% и да се са сума са 125% почетног улога увећа на 150% првобитног улога.

• Време да се уложена сума увећа за 25% краће је од времена потребног да се сума са 125% почетног улога увећа на 150% првобитног улога.
• Време да се уложена сума увећа за 25% дужа је од времена потребног да се сума са 125% почетног улога увећа на 150% првобитног улога.
• Време да се уложена сума увећа за 25% једнако је времену потребном да се сума са 125% почетног улога увећа на 150% првобитног улога.
• Време да се уложена сума увећа за 25% краће за годину дана од времена потребног да се сума са 125% почетног улога увећа на 150% првобитног улога.

Првобитни улог се увећа за \(25\%\) спорије него што се сума са \(125\%\) првобитног улога увећа на \(150/%\) првобитног улога, и то за \(4,4-(8-4,4)=0,8\) година више времена, тј. приближно за \(292\) дана више.

 

Задатак 6.5.

Једно предузеће је установило да цену једног од својих производа треба повећати за 30%. Међутим, сматрају да овако велико повећање одједном није популарно, па разматрају да уместо тога цену повећавају узастопно неколико месеци.

 

Задатак 6.5.1.

Ако се одлуче за узастопна поскупљења од 5%, колико тих узастопних поскупљења је потребно да укупно поскупљење буде бар 30%?

• 5
• 6
• 7
• 8

Тражени број јесте најмањи природна број који је решење неједначине

\(1,3\leq \left(1+0,05\right)^{n}.\)

Дакле,

\(n\geqslant\frac{\log 1,3}{\log 1,05}\approx 5,4,\)

па је потребно 6 узастопних поскупљења да би цена поскупела бар 30%. Тада ће укупно поскупљење бити \(1,05^6-1\approx 34\%\).

 

Задатак 6.5.2.

Ако се одлуче за узастопна поскупљења од 3%, колико тих узастопних поскупљења је потребно да укупно поскупљење буде бар 30%?

• 8
• 9
• 10
• 11

Тражени број јесте најмањи природна број који је решење неједначине

\(1,3 \leq \left(1+0,03\right)^{n}.\)

Дакле,

\(n\geqslant\frac{\log 1,3}{\log 1,05}\approx 8,9,\)

па је потребно 9 узастопних поскупљења да би цена поскупела бар 30%. Тада ће укупно поскупљење бити \(1,03^9-1\approx 30,5\%\).