Задаци
Одреди време удвостручавања штедног улога при дневном обрачуну камате по стопи од 15%.
Ако је \(n\) време удвостручавања изражено у данима, онда је \(2 = (1+\frac{0,15}{365})^n\), тј.
\(2=1,0004^n\)
Из последње једнакости добијамо да је
\(n=\frac{\log 2}{\log 1,0004}\approx \frac{0,30103}{0,000174}\approx 1\,730\)
Уложена сума ће се удвостручити за приближно 1.730 дана, одн. 4 године и 9 месеци.
Имајући у виду ретултате задатка 2.1, колико ће вредети 1000 евра, при месечном обрачунавању добити по стопи од 6%, за
а) \(2n\) месеци;
б) \(3n\) месеци;
в) Шта закључујеш?
a) За 139 месеци сума од 1000 евра ће се удвостручити. За \(2\cdot 139=278\) месеци, уложених 1000 евра постаје
\(B_1=1000\cdot\left(1+\frac{0,06}{12}\right)^{278}=1000\cdot 1,005^{278}\approx 4\,000,97.\)
б) За \(3\cdot 139=417\) месеци, уложених 1000 евра постаје
\(B_2=1000\cdot 1,005^{417}\approx 8\,002,91.\)
в) Уопште, ако је \(m\) време удвостручавања, онда:
- за време \(2n\), сума се повећава \(2^2=4\) пута,
- за време \(3n\), сума се повећава \(2^3=8\) пута, итд.
- за време \(kn\), сума се повећава \(2^k\) пута
Одреди приближан број година потребан да се уложена сума удвостручи, ако је каматна стопа 12%, ако се добит обрачунава: годишње, тромесечно, месечно.
У свим случајевима, време удвостручавања ћемо одредити у годинама.
При годишњем обрачунавању добити, време удвостручавања је решење једначине
\(2=(1+0,12)^t=1,12^t.\)
Како је
\(t=\frac{\log 2}{\log 1,12}\approx 6,1\)
у овом случају је време удвостручавања приближно једнако 6,1 година.
При тромесечном обрачунавању добити, време удвостручавања је решење једначине
\(2=(1+\frac{0,12}{4})^{4t}=1,03^{4t}.\)
Како је
\(t=\frac{\log 2}{4\cdot \log 1,03}\approx 5,9,\)
у овом случају је време удвостручавања приближно једнако 5,9 година.
При месечном обрачунавању добити, време удвостручавања је решење једначине
\(2=(1+\frac{0,12}{12})^{12t}=1,01^{12t}.\)
Како је
\(t=\frac{\log 2}{12\cdot \log 1,01}\approx 5,8\)
у овом случају је време удвостручавања приближно једнако 5,8 година.
Одреди време удвостручавања уложеног новца ако се добит обрачунава годишње по стопи од: 6%, 8%, 10%. Шта закључујеш?
При годишњем обрачунавању добити
-
по стопи од 6%, време удвостручавања, у годинама, јесте решење једначине \(2=(1+0,06)^t=1,06^t;\) \(t=\frac{\log 2}{\log 1,06}\approx 11,9\);
-
по стопи од 8%, време удвостручавања, у годинама, јесте решење једначине \(2=(1+0,08)^t=1,08^t;\) \(t=\frac{\log 2}{\log 1,08}\approx 9\);
-
по стопи од 10%, време удвостручавања, у годинама, јесте решење једначине \(2=(1+0,1)^t=1,1^t;\) \(t=\frac{\log 2}{\log 1,1}\approx 7.3.\)
Што је већа каматна стопа, време удвостручавања је све краће.
Ако се уложи 10.000 динара при дневном обрачуну добити по стопи од 8,25%, када се може очекивати сума од 15.000 динара?
Тражено време, у данима \(n\) јесте решење једначине
\(15\,000=10\,000\cdot \left(1+\frac{0,0825}{365}\right)^{n},\)
односно \(1,5=1,0002^n\). Решење ове једначине је
\(n=\frac{\log 1,5}{\log 1,0002}\approx 2\,027,5.\)
Наведена добит се може очекивати за приближно 2 027 дана, однocno 5,5 година.
Особа X је уложила 1.000€ са каматном стопом 9% која ће бити обрачунавана месечно, а особа Y је уложила 2.000€ са каматном стопом 3% која ће такође бити обрачунавана месечно. Да ли ће икада особа X имати већу суму новца од особе Y? Ако је одговор потврдан, када ће се то догодити?
За \(t\) година, особа X ће имати
\(B_X=1000\cdot\left(1+\frac{0,09}{12}\right)^{12t}=1000\cdot 1,0075^{12t},\)
а особа Y
\(B_Y=2000\cdot\left(1+\frac{0,03}{12}\right)^{12t}=2000\cdot 1,0025^{12t},\)
Треба решити неједначину \(B_X>B_Y\), а она је еквивалентна следећим неједначинама:
\(1000\cdot 1,0075^{12t}>2000\cdot 1,002^{12t},\)
\(\left(\frac{1,0075}{1,0025}\right)^{12t}>2,\)
\(12t\log \left(\frac{1,0075}{1,0025}\right)>\log 2,\)
\(t>\frac{\log 2}{12(\log 1,0075-\log 1,0025)}\approx 11,6,\)
Особа X ће имати више новца после 11,6 годинa, или приближно, након 140 месеци.