Цигла по цигла - палата

Да се подсетимо

Геометријски низ је низ такав да је количник сваког члана (почев од другог) и њему претходног члана увек исти:

\[\begin{eqnarray*} a_1\\ a_2&=&a_1\cdot q\\ a_3&=&a_1\cdot q^2\\ \ldots\\ a_n&=&a_1\cdot q^{n-1}\\ \ldots \end{eqnarray*}\]

Ако је $S_n=a_1+ a_1\cdot q+\cdots+ a_1\cdot q^{n-1}$, збир првих $n$ чланова низа и $q \neq 1$, онда је

\[S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}\]

Научићеш

У овој лекцији ћеш научити шта је:

Циљана штедња;
Кредит.

Циљана штедња представља врсту штедње за куповину новог аутомобила, реновирање стана, путовање, школовање и слично. Једна од банкарских услуга представља овакву врсту штедње, која подразумева редовну уплату исте суме новца, месечне рате r, до крајњег рока одређеног за остварење циља. Редовна уплата значи да се новац уплаћује периодично, у једнаким временским размацима. Договорена каматна стопа $k$ се такође обрачунава периодично. Будућа вредност уплаћеног новца представља збир будуће вредности сваке појединачне рате. Ако се плаћање обавља у $n$ месечних рата, уплаћивање ће трајати $n-1$ месеци:

\[\begin{eqnarray*} B_1=r\left(1+\frac{k}{12}\right)^{n-1} \\ & \textrm{– будућа вредност прве рате до крајњег рока, тј. после $n-1$ месеци;}\\ B_2=r\left(1+\frac{k}{12}\right)^{n-2}\\ & \textrm{– будућа вредност друге рате до крајњег рока, после $n-2$ месеца;}\\ B_{n-1}=r\left(1+\frac{k}{12}\right)^{ 1}\\ & \textrm{– будућа вредност $(n-1).$ рате до крајњег рока, после једног месеца;}\\ \ldots\\ B_n=r\left(1+\frac{k}{12}\right)^{0}\\ & \textrm{– последњом ратом се завршава плаћање.}\\ \end{eqnarray*}\]

Након уплате последње рате, укупна вредност ће бити:

\[B=B_1+B_2+…+B_{n-1}+B_n\]

\[\quad = r\left(1+\frac{k}{12}\right)^{n-1}+r\left(1+\frac{k}{12}\right)^{n-2}+\cdots+ r\left(1+\frac{k}{12}\right)^{1}+r\left(1+\frac{k}{12}\right)^{0}\]

\[\quad = r\left(\left(1+i\right)^{n-1}+\left(1+i\right)^{n-2}+\cdots+ \left(1+i\right)^{1}+\left(1+i\right)^{0}\right),\]

где је $i=\frac{k}{12}$ периодична каматна стопа.

Користећи формулу за збир геометријског низа добијамо будућу вредност $B$ новца који је уплаћиван у $n$ једнаких месечних рата $r$ по каматној стопи од $k\%$:

\[B = r \cdot \frac{(1+i)^n-1}{i}.\]

На исти начин рачунамо и будућу вредност новца који се уплаћује у другачијим временским периодима.

Кредит је донекле обратaн циљаној штедњи. Банка даје суму новца $S$ уз договор да новац враћамо у $n$ месечних рата $r$ при договореној каматној стопи $k\%$, тј. релативној каматној стопи $i=\frac{k}{12}$. Пошто је $B = S(1+i)^n$, величина месечне рате $r$ се добија из једначине:

\[r\cdot \frac{(1+i)^n-1}{i} = S\cdot (1+i)^n.\]