Задаци
Ако је неко уложио 1.000 евра са каматном стопом 6%, која се обрачунава дневно, колико новца ће подићи након 2 године (које нису преступне)?
Дато је:
- \(S = 1.000 \,\text{€}\) – уложена сума
- \(i = \frac{6\%}{365}=\frac{0,06}{365}\approx 0,0002\) – релативна каматна стопа
- \(n = 2\cdot 365=730\) – број обрачунских периода (број дана)
Будућу вредност новца \(B\) добијамо заменом датих вредности у сложеној каматној формули.
\(B=S(1+i)^n\)
\(\quad =1000\cdot(1+0,0002)^{730}\)
\(\quad = 1.157,18\) динара
Шта је исплативије: улагање при дневном обрачуну камате при стопи од 5,8% или при четворомесечно обрачуну камате при стопи од 5,9%?
Одредимо прво колико пута се повећа улог при дневном обрачуну камате при стопи од 5,8%:
\(\left(1+\frac{0,058}{365}\right)^{365}\approx 1,0597\)
Одредимо затим колико пута се повећа улог при четворомесечном обрачуну камате при стопи од 5,9%:
\(\left(1+\frac{0,059}{3}\right)^{3}\approx 1,0602\)
Исплативије је улагање при четворомесечном обрачуну камате при стопи од 5,9%, од улагања при дневном обрачуну камате при стопи од 5,8%.
Годишњи прираштај је каматна стопа за коју проста каматна формула даје будућу вредност која се добија сложеном каматном формулом. Одреди годишњи прираштај за улоге при дневном обрачунавању камате по стопи од 10,3%.
Ако је \(S\) садашња вредност, будућа вредност за годину дана, обрачуната сложеном каматном формулом, при дневном обрачунавању камате по стопи, једнака је:
\(B = S\left(1+\frac{0,103}{365}\right)^{365}\)
Треба одредити годишњи прираштај \(p\), тако да је \(B = S(1+p\cdot 1)=S(1+p)\):
\(S\left(1+\frac{0,103}{365}\right)^{365}=S(1+p),\;\)
тј.
$ \left(1+\frac{0,103}{365}\right)^{365}=1+p.$
Тражена вредност је
\(p=\left(1+\frac{0,103}{365}\right)^{365}-1\approx 0,11\)
Дакле, годишњи прираштај је приближно 11%.
Неко је уложио 1000€ са каматном стопом 9% и жели да подигне новац након 2 године. Испитати коликa сумa новца ће се подићи у зависности од тога колико пута годишње ће бити обрачунавана камата.
| Обрачунавање камате | \(m\) | \(B=1.000\cdot\left(1+\frac{0,09}{m}\right)^{2m}\) |
|---|---|---|
| Годишње | 1 | |
| Полугодишње | 2 | |
| Тромесечно | 4 | |
| Месечно | 12 | |
| Недељно | 52 | |
| Дневно | 365 | |
| На сваких сат времена | 8760 |
| Обрачунавање камате | \(m\) | \(B=1000\cdot\left(1+\frac{0,09}{m}\right)^{2m}\) |
|---|---|---|
| Годишње | 1 | 1.188,100 |
| Полугодишње | 2 | 1.192,519 |
| Тромесечно | 4 | 1.194,831 |
| Месечно | 12 | 1.196,414 |
| Недељно | 52 | 1.197,031 |
| Дневно | 365 | 1.197,191 |
| На сваких сат времена | 8760 | 1197,216 |
Видимо да се повећавањем броја \(m\) сумa \(B\) незнатно мења.
Пилеће месо једног произвођача је три пута узастопно поскупело по 10%. Колико процената износи укупно поскупљење?
Ако је \(c\) почетна цена, онда је нова цена, после три узастопна поскупљења, једнака
\(c\cdot(1+0,1)^3=1,331c.\)
Дакле, нова цена је за 33,1% већа од првобитне цене, тј. за посматрани период укупно поскупљење износи 33,1%.
Напомена: Уочимо да је поскупљење од 30% мање од три узастопна поскупљења од 10%.
Сок једног произвођача је три пута узастопно појефтинио по 10%. Колико процената износи укупно појефтињење тог производа?
Ако је \(c\) почетна цена, онда је нова цена, после три узастопна појефтињења, једнака
\(c\cdot(1-0,1)^3=0,729c.\)
Дакле, нова цена је за 27,1% мања од првобитне цене, тј. за посматрани период укупно појефтињење износи 27,1%.
Напомена: Уочимо да је појефтињење од 30% веће од три узастопна појефтињења од 10%.
Цене два млечна производа, јогурта и киселог млека, у једном тренутку биле су једнаке. Потом је, током 6 месеци, кисело млеко три пута узастопно појефтинило по 10%, па поскупело 30%, а јогурт је за то време прво појефтинио 10%, па поскупео 30% и онда два пута узастопно појефтинио по 10%.
1) Да ли је цена киселог млека сада једнака почетној цени или је већа/мања од првобитне и за колико?
2) Да ли је цена јогурта сада једнака почетној цени или је већа/мања од првобитне и за колико?
3) Упореди цене ова два производа након промена насталих током 6 месеци.
1) Ако је \(c_k\) почетна цена киселог млека, онда је цена после свих промена једнака
\(c_k \cdot (1-0,1)^3 \cdot (1+0,3)=0,9477 c_k.\)
Дакле, цена киселог млека је, након свих промена, мања од првобитне и то за 5,23%.
2) Ако је \(c_ј\) почетна цена киселог млека, онда је цена после свих промена једнака
\(c_ј\cdot(1-0,1)\cdot(1+0,3)\cdot(1-0,1)^2=0,9477c_ј.\)
Дакле, цена јогурта је, након свих промена, мања од првобитне и то за 5,23%.
3) Како је
\((1-0,1)\cdot(1+0,3)\cdot(1-0,1)^2=(1-0,1)^3\cdot(1+0,3),\)
и не израчунавајући вредности израза, можемо закључити да су и нове цене киселог млека и јогурта су једнаке.
Напомена: Услед комутативности множења, резултат неколико узастопних промена цена не зависи од распореда тих промена, већ само од вредности тих промена.