Задаци за самосталан рад

Задатак 7.1.

Сањини родитељи почели су да штеде за њене студије када је пошла у 1. разред. Од тог 1. септембра сваког месеца уплаћују 50 евра по каматној стопи од 5,76%, а последња рата биће 1. јуна оне године када Сања завршава средњу школу.

 

Задатак 7.1.1.

Колико новца ће родитељи имати на крају отплате?

• Мање од 8.000 евра.
• Између 8.000 и 9.000 евра.
• Између 10.000 и 20.000 евра.
• Више од 20.000 евра.

Сањини родитељи су уплаћивали рату током 11 година и још 10 месеци, тј. уплатиће 142 рате. Дакле, на крају ће имати

\(B = 50 \cdot \frac{\left(1+\frac{0,0576}{12}\right)^{142}-1}{\frac{0,0576}{12}} = 50 \cdot \frac{1,0048^{142}-1}{0,0048}\approx 1.0143,93.\)

 

Задатак 7.1.2.

Колико је порасла сума током периода од последње четири године улагања?

• Мање од 3.000 евра.
• Између 4.000 и 5.000 евра.
• Између 5.000 и 6.000 евра.
• Више од 6.000 евра.

После улагања током 7 година и 10 месеци Сањини родитељи су имали 5921,89 евра, јер је

\(B = 50 \cdot \frac{\left(1+\frac{0,0576}{12}\right)^{94}-1}{\frac{0,0576}{12}} = 50 \cdot \frac{1,0048^{94}-1}{0,0048}\approx 5921,89.\)

Значи да је током последње четири године сума увећана за \(10.143,93-5921,89=4222,04\) евра.

 

Задатак 7.1.3.

Колико би више новца имали да су почели тачно 4 година раније да улажу под истим условима?

• Имали би 10.143,93 евра више.
• Имали би 5.921,89 евра више.
• Имали би 5.313,06 евра више.
• Имали би 4.222,04 евра више.

Да су Сањини родитељи почели да штеде 4 године раније имали би 5.921,89 евра, јер је

\(B = 50 \cdot \frac{\left(1+\frac{0,0576}{12}\right)^{190}-1}{\frac{0,0576}{12}} = 50 \cdot \frac{1,0048^{190}-1}{0,0048}\approx 15.456,99.\)

Значи са четири године дужег улагања, имали би за \(15.456,99-10.143,93=5.313,06\) евра више.

 

Задатак 7.2.

Брачни пар Тодоровић очекује принову и планира да месечно улаже једнаке суме од рођења детета до његовог 18. рођендана и тако уштеде 50 000 евра. Ако банка нуди улагање по каматној стопи од 4,5%, колики треба да буду месечни улози?

• Мањи од 100 евра.
• Између 100 и 125 евра.
• Између 125 и 150 евра.
• Већи од 150 евра.

Ако је \(r\) месечни улог, треба решити једначину

\(50\,000 = r \cdot \frac{\left(1+\frac{0,045}{12}\right)^{216}-1}{\frac{0,045}{12}}.\)

Према томе,

\(r=\frac{50\,000\cdot 0,00375}{1,00375^{216}-1}\approx 150,66,\)

па Тодоровићи треба сваког месеца током 18 година да улажу 150,66 евра, како би за 18. рођендан свог детета имали 50.000 евра.

 

Задатак 7.3.

Душан купује веш машину која кошта 42.543 динара. Бира или да плати машину у 12 рата без камате или на 24 рате са каматом од 5%. Одреди за колико процената је рата при двогодишњој отплати мања од рате при једногодишњој отплати.

• Проценат за који је рата при двогодишњој отплати мања од од рате при једногодишњој отплати припада интервалу [40%,45%).

• Проценат за који је рата при двогодишњој отплати мања од од рате при једногодишњој отплати припада интервалу [45%,50%).

• Рата при двогодишњој отплати је за 50% мања од рате при једногодишњој отплати.

• Проценат за који је рата при двогодишњој отплати мања од од рате при једногодишњој отплати припада интервалу (50%,60%).

Рата при једногодишњој отплати је \(r_1=42.543:12=3.545,25\) динара.

Рату при двогодишњој отплати одређујемо из једначине \(r_2\cdot \frac{\left(1+\frac{0,05}{12}\right)^{24}-1}{\frac{0,05}{12}} = 42.543\cdot \left(1+\frac{0,05}{12}\right)^{24}.\) Добијамо да је \(r_2\approx 1.866,42\) динара.

Према томе, рата при двогодишњој отплати је \(\frac{1.866,42}{3.545,25}\approx 52,65\%\) рате при једногодишњој отплати, тј. од ње је мања за приближно 47,35%.

 

Задатак 7.4.

Да би купили стан од 30.000 евра, породица Лукић планира да узме кредит од банке. Услови су да 20% вредности уплате одмах (тзв. учешће), а остатак дуга отплаћују на један од следећа три начина:

а) наредних 10 година у једнаким месечним ратама са фиксном каматом од 6,80% или

б) наредних 15 година у једнаким месечним ратама са фиксном каматом од 7,30% или

в) наредних 20 година у једнаким месечним ратама са фиксном каматом од 7,40%.

Када кажемо да је кредит са фиксном каматном, то значи да се каматна стопа не мења током читавог периода отплате.

 

Задатак 7.4.1.

Упореди висине месечних рата у сва три случаја. У ком случају је рата најмања? Означи тачан исказ.

• Месечна рата је најмања у опцији а), а највећа у опцији в), при чему је разлика између рата мања од 80 евра.
• Месечна рата је најмања у опцији в), а највећа у опцији а), при чему је разлика између највеће рате и средње мања од 50 евра.
• Месечна рата је најмања у опцији в), а највећа у опцији а), при чему је разлика између рата већа од 90 евра.
• Месечна рата је најмања у опцији в), а највећа у опцији а), при чему је средња рата већа од најмање за мање 30 евра.

У варијанти а) месечна рата коју Лукићи плаћају је 276,19 евра, јер је

\(r_a=\frac{0,8\cdot 30 000\cdot \left(1+\frac{0,068}{12}\right)^{120}}{\frac{\left(1+\frac{0,068}{12}\right)^{120}-1}{\frac{0,068}{12}}}\approx 276,19.\)

У варијанти б) месечна рата коју Лукићи плаћају је 219,76 евра, јер је

\(r_b=\frac{0,8\cdot 30 000\cdot \left(1+\frac{0,073}{12}\right)^{180}}{\frac{\left(1+\frac{0,073}{12}\right)^{180}-1}{\frac{0,073}{12}}}\approx 219,76.\)

У варијанти в) месечна рата коју Лукићи плаћају је 191,88 евра, јер је

\(r_v=\frac{0,8\cdot 30 000\cdot \left(1+\frac{0,074}{12}\right)^{240}}{\frac{\left(1+\frac{0,074}{12}\right)^{240}-1}{\frac{0,074}{12}}}\approx 191,88.\)

Дакле, рата је најмања када је период отплате најдужи, тј. у опцији в), а највећа у опцији а).

 

Задатак 7.4.2.

Упореди суме које враћају у сва три случаја. У ком случају враћају највише новца? Означи тачан исказ.

• Сума коју треба вратити је најмања у опцији а), а највећа у опцији в), при чему је разлика између њих већа од 12 500 евра.
• Сума коју треба вратити је најмања у опцији в), а највећа у опцији а), при чему је разлика између њих мања од 13 000 евра.
• Сума коју треба вратити је најмања у опцији а), а највећа у опцији в), при чему је разлика између средње и најмање суме мања од 6 000 евра.
• Сума коју треба вратити је најмања у опцији а), а највећа у опцији в), при чему је разлика између средње и највеће суме већа од 7 000 евра.

У варијанти а) Лукићи ће укупно вратити \(120\cdot 276,19=33.142,8\) евра.

У варијанти б) Лукићи ће укупно вратити \(180\cdot 219,76=39.556,8\) евра.

У варијанти в) Лукићи ће укупно вратити \(240\cdot 191,88=46.051,2\) евра.

Дакле, Лукићи ће најмању суму вратити ако изаберу опцију са најкраћим периодом отплате, тј. опцију а), а највећу суму у случају опције в).